Aritmetica concreta (Similalgebra) e Aritmetica astratta, con l’Algebra delle formule

La proposta del professor Mauro Spadolini, già insegnante all’Itis “B. Pascal” di Cesena

I bambini faticano nello stare attenti

Caro direttore, oggi, nella scuola primaria, molti maestri di matematica sono in difficoltà: i bambini faticano a mantenere l’attenzione per più di qualche minuto, i genitori si lamentano dei compiti a casa e la precisione e il metodo sembrano venir meno. Gli alunni non conoscono più nemmeno il nome degli elementi delle operazioni (addendi, somma, fattori, prodotto, ecc.), tanto che alla fine della seconda elementare molti non comprendono domande del tipo: «Se sei è il prodotto di due fattori, quali sono i due fattori?». I genitori giustificano i figli sostenendo che i nomi verranno imparati in seguito.

Precario l’apprendimento della matematica

Senza che vengano usati libri di testo ben scritti − che cioè riportino quei nomi in bella evidenza e che non abbiano espressioni non vere come: 3 x 2 = 6 mq − e senza genitori che seguano il libro di testo del figlio (e magari lo correggano), l’apprendimento della matematica resterà superficiale, quindi precario. I giovani ne risentiranno anche nel successivo sviluppo del ragionamento e del calcolo.

La Didattica Breve alle scuole dell’obbligo

Sarebbe però un errore ritenere che la Didattica Breve (DB) del professor Filippo Ciampolini non possa essere estesa alla scuola dell’obbligo, perché le difficoltà incontrate negli Istituti tecnici industriali (per cui era stata pensata – v. più avanti) derivavano soprattutto dalle carenze delle scuole precedenti, non certo dal cercare di usare la DB. Nella scuola primaria, invece, le difficoltà derivano spesso dalle lacune di partenza, che sono dovute a genitori che fin dalla prima infanzia non hanno stimolato la curiosità e la voglia di apprendere dei loro figli, e che non hanno letto, ad esempio, “Da zero a tre anni” di Piero Angela.

Primi calcoli con l’aritmetica concreta

Nel correggere gli errori dei libri di testo della scuola dell’obbligo, ho messo a punto, nel giro di qualche anno, una proposta basata sulla Didattica Breve: fare i primi calcoli con aritmetica concreta (per esempio: 3 a + 3 a = 6 a, con “a” unità di misura “mela”), per poi usare anche aritmetica astratta (3 + 3 = 6), soprattutto per i numeri più “grandi” (per es. 38 + 38 = 76), spiegando subito che l’aritmetica astratta (aritmetica, tout court) è l’astrazione dell’aritmetica concreta.

La Didattica Breve

Poco dopo si aggiungerà che “a + a = 2a” è algebra, che è una seconda astrazione − precisamente l’astrazione/generalizzazione dell’aritmetica astratta − dicendo che in algebra “a” non è più l’unità di misura “mela/e” dell’aritmetica concreta, ma è un numero qualsiasi, quindi non solo il “3” del caso specifico visto prima. Si dirà ai piccoli che vedranno l’algebra in quarta nelle formule di geometria. Ma sarà algebra anche la formula che già dal primo momento impareranno a scrivere all’inizio della risoluzione del problema, come si vede nei tre esempi illustrati del riquadro e come sarà per tutti gli altri problemi. La formula “dichiara” − in forma algebrica − quali sono le operazioni da eseguire per risolvere il problema. In questo modo si fa Didattica Breve. Solo a questo punto si dirà che l’aritmetica concreta ha un sinonimo (similalgebra), un sinonimo appropriato, perché i calcoli dell’aritmetica concreta si fanno come in algebra.

L’algebra fin dalla scuola primaria

La similalgebra serve anche per cominciare a parlare di algebra, e per cominciare a “farla” fin dalla scuola primaria (nelle sue forme più semplici, s’intende): “Se 2 + x = 5, quanto vale x?”. Ma similalgebra è anche un neologismo, “felice” e “sottile” allo stesso tempo. È felice perché fa capire in cosa consiste l’aritmetica concreta, che non è: “3 mele + 3 mele = 6 mele” oppure: “3 mele per ogni fila ∙ 2 file = 6 mele”, perché questi miscugli di matematica e italiano non assomigliano all’algebra, ma servono solo per mostrare che con l’aritmetica astratta (“3 + 3 = 6”  e    “3 x 2 = 6”) si risolvono i problemi concreti.

Aritmetica concreta

Similalgebra (aritmetica concreta) è invece: 3 a + 3 a = 6 a  e, in seconda elementare, è anche: 3 a/r ∙ 2 r = 6 a, come si vede nel primo esempio del riquadro. Riquadro in cui − all’inizio delle tre espressioni − c’è l’algebra dell’equazione iniziale, cioè della formula scelta per risolvere quel dato problema. È sottile perché queste espressioni per i calcoli con aritmetica concreta sono certamente simili al calcolo letterale dell’algebra (3a + 3a = 6a  e  3a/r ∙ 2r = 6a), ma si deve dire e ripetere che in algebra, oltre a non esserci spazio fra i numeri e le lettere, quando l’algebra viene usata per la geometria, la fisica, ecc. ogni lettera non è più il simbolo di una unità di misura, ma il simbolo di una grandezza (quantity in inglese), sotto al quale c’è un numero concreto (o un numero puro nel caso di una grandezza adimensionale). Ora il calcolo letterale dell’algebra viene affrontato dalla terza media in avanti, insieme con la risoluzione delle equazioni; con l’aritmetica concreta verrebbe “fatto” già nella primaria.

Metodo Similalgebra

Il Metodo Similalgebra (MS) mostra cos’è la Didattica Breve: consiste nel dedicare molto tempo ai primi elementi, per poterli approfondire e − un poco alla volta, nei cinque anni − chiarirli nei particolari, usando poi le prime nozioni e i primi metodi di lavoro di continuo, come attualmente, però, non si fa, perché molti argomenti paiono fra loro slegati. Approfondendo all’inizio si potrà poi procedere veloci, apprendendo e capendo in un tempo più “breve” tutto il resto.

Numeri concreti

L’aritmetica concreta (o similalgebra) adopera i numeri concreti (8 kg, 5 m, 2 s, ma adopera anche, come abbiamo visto, il numero concreto “3 a”, “tre mele”, perché con queste unità di misura “grossolane” – del tipo: “mela/e” (“a”), “fila/e” (“r”), ecc. − è possibile fare i calcoli con similalgebra fin dalla prima elementare: 3 a + 3 a = 6 a (non: 3 mele + 3 mele = 6 mele).

Si nota che l’aritmetica concreta (o similalgebra) esiste da quando esiste la fisica classica e viene usata per il controllo dimensionale. Si usa correntemente aritmetica concreta anche sulle fatture di acqua (3 €/mc ∙ 2 mc = 6 €), luce e gas; nei parchimetri dei parcheggi (1,20 €/h ∙ 2 h = 2,40 €); negli scontrini delle bilance del reparto frutta e verdura dei supermarket (2,40 €/kg ∙ 2 kg = 4,80 €); ecc.

Similalgebra e Didattica Breve

Il Metodo Similalgebra è dunque congegnato in modo che porta con sé, inevitabilmente, la Didattica Breve, inizialmente pensata in campo tecnico da F. Ciampolini negli anni Ottanta per gli Istituti tecnici industriali. Allora si sarebbe dovuto studiare l’elettrotecnica generale in modo da poter poi apprendere in minor tempo l’elettronica, la telematica, l’informatica, ecc. Purtroppo non fu possibile farlo, sia perché − per far subito posto all’informatica − furono aumentate le ore di matematica e ridotte quelle di elettrotecnica, sia perché le scuole precedenti non avevano abituato a quel modo di apprendere.

Avevo visto tutto ciò poiché insegnava elettrotecnica generale e macchine elettriche nell’Itis “B. Pascal” di Cesena, una volta in pensione ho pensato di rimediare a quell’insuccesso, anticipando la DB (e le “lavagne riassuntive”) del professor Ciampolini alla scuola primaria (il riquadro qui a lato è una “lavagna”). Sono stato convinto che fosse possibile fare nella scuola primaria ciò che non era stato possibile negli istituti tecnici industriali, proprio perché in quegli istituti la complessità degli argomenti (elettrotecnica, macchine elettriche, elettronica, telematica, informatica, ecc.) rendevano la DB “problematica”, per le due ragioni viste qui sopra.

Poche volte si ragiona sui dettagli nella scuola dell’obbligo

Ora, nella scuola dell’obbligo, solo poche volte si insegna ad andare in profondità ragionando sui dettagli. Troppe volte, invece, si usano tabelle e si risolvono i problemi con metodi meccanici e con tante regole pratiche che, magari, sono valide solo per pochi casi. Si pensi alle proporzioni, alle equivalenze, ai tanti casi particolari elencati sui libri di testo, ognuno con la sua regola pratica per poterlo risolvere.

Ma nella scuola primaria (e poi nella scuola media) gli approfondimenti iniziali, tipici della Didattica Breve, possono essere fatti con esempi molto semplici − come quelli della “lavagna” qui sopra − e quindi i maestri di matematica sono avvantaggiati: non sono infatti costretti a studiare né l’algebra elementare né la fisica classica. Si noti poi, en passant, che anche l’IA si basa su esempi, in cui però non riesce sempre a cogliere tutti i dettagli, come quando dice, sbagliando, che la similalgebra è un ponte fra l’aritmetica e l’algebra. Il diagramma di Eulero-Venn di pagina 2 del primo PDF del sito «similalgebra.wordpress.com» mostra invece che la similalgebra sta ancor prima dell’aritmetica astratta e quindi − se proprio si vuole che sia un ponte − lo è fra la realtà concreta e la sua rappresentazione, che mantiene molta concretezza perché usa i numeri concreti. Insegnando similalgebra già dai primi tre anni (applicando cioè le proprietà delle operazioni) i maestri potranno rinfrescarsi il calcolo letterale dell’algebra, che si basa sulle stesse proprietà delle operazioni.

Geometria concreta

Con la geometria concreta (A = b x h = 3 m x 2 m = 6 mq)   i maestri potranno imparare anche i primi elementi di fisica classica, perché la geometria concreta funziona esattamente come la fisica classica, sia per i calcoli fatti con aritmetica concreta (con il relativo controllo dimensionale), sia per come funzionano le formule algebriche iniziali. Come si può intravvedere già nel secondo e terzo esempio del riquadro. 

Mauro Spadolini – Cesena

Per altri chiarimenti, “Numeri concreti e aritmetica concreta”, l’ultimo (9°) PDF del sito del professor Mauro Spadolini, similalgebra.wordpress.com